解：（1）∵直线y=-
x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（
，0），B（0，1），
在Rt△ABO中，
∵AB=
=2，
∴tan∠BAO=
=
，
∴∠BAO=30°
又∵△ABC是等边三角形
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°
∴CA∥OB，
∴C点坐标为（
，2）；
（2）∵D是AB的中点，过D作DF∥OB，交OA于F，
则DF=
OB=
，OF=
OA=
∴D点坐标为（
，
），
设过C、D两点的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，解得
，
∴所求一次函数的解析式为y=
x-1；
（3）过点B作BH⊥AC于点H，
∵△ABC是等边△，
∴BH是AC的垂直平分线，
∴BF过点O′，
∵B（0，1），
∴当y=1时，x=
∴O′（
，1），
∵CA∥BO，BH⊥AC，
∴BH⊥OB，且过⊙O′半径的外端，
∴OB是⊙O′的切线，
∴OB2=OE?OA，即1=OE?
，解得OE=
，
∴E（
，0），
设过E、O′、A三点的抛物线为y=ax2+bx+c，将三点坐标代入得
解得
∴所求二次函数的解析式为y=-3x2+4
x-3．
解析分析：（1）先根据直线y=-
x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点求出A、B两点的坐标，在Rt△ABO中，根据勾股定理求出AB的长，故可得出tan∠BAO的值，可得出∠BAO的度数，判断出△ABC的形状，由平行线的判定定理得出CA∥OB，由此即可得出C点坐标；
（2）过D作DF∥OB，交OA于F，由点D是AB的中点可求出D点坐标，设过C、D两点的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），再把C、D两点的坐标代入即可求出此函数的解析式；
（3）过点B作BH⊥AC于点H，根据△ABC是等边△，可知BH是AC的垂直平分线，BH过点O′，故点B与点O′
的纵坐标相等，故可得出O′的坐标，再由CA∥BO，BH⊥AC可知BH⊥OB且过⊙O′半径的外端，故可得出OB是⊙O′的切线，由切线长定理可得OB2=OE?OA，进而可求出OE的长，故可得出E点坐标，
设过E、O′、A三点的抛物线为y=ax2+bx+c（a≠0），将三点坐标代入即可求出abc的值，故可得出结论．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到等边三角形的判定与性质、切线的判定与性质、用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，难度适中．
