不定方程的分析求解

　　不定方程的分析求解

　　不定方程的定义

　　所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.

　　下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：

　　一般常用的求不定方程整数解的方法

　　(1)分离整数法

　　此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

　　(2)辗转相除法

　　此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：

　　第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);

　　第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;

　　第三步，用辗转相除法解不定方程.

　　(3)不等式估值法

　　先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.

　　(4)逐渐减小系数法

　　此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为±1的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.

　　(5)分离常数项的方法

　　对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.

　　(6)奇偶性分析法

　　从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用2n或2n+1(n∈Z)代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.

　　(7)换元法

　　利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.

　　(8)构造法

　　构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.

　　(9)配方法

　　把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.

　　(10)韦达定理

　　韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如a+b、a×b形式的式子，最后用韦达定理.

　　(11)整除性分析法

　　用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.

　　(12)利用求根公式

　　在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.