二次函数与一元二次方程

　　二次函数与一元二次方程的关系：

　　函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。

　　那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。

　　1、从形式上看：

　　二次函数：y=ax²＋bx＋c  (a≠0)

　　一元二次方程：ax²＋bx＋c=0  (a≠0)

　　2、从内容上看：

　　二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值

　　3、相互关系：

　　二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。

　　如：y=x²－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x²－4x＋3=0的根是x=1或x=3

　　二次函数交点与二次方程根的关系：

　　抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：

　　1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；

　　2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；

　　3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。

　　若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=，x₁x₂=。

　　点拨：

　　①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。

　　②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂₎,则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。

　　③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。

　　若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。

　　④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b²-4ac/|a|。