重心

　　重心定义：

　　物体的重心与物体的形状有关，规则图形的重心就是它的几何中心。

　　如：线段，平行四边形，三角形，正多边形等等。

　　其它图形重心：

　　注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。

　　三角形的重心就是三边中线的交点。线段的重心就是线段的中点。

　　平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。

　　平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。

　　圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。

　　锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。

　　四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。

　　正多边形的重心是其对称轴的交点。

　　由物理方法，我们可以找出任意四边形的重心。

　　三角形重心：

　　重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明。

　　三角形重心性质：

　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

　　4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

　　空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。

　　5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

　　6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则

　　3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。

　　7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3。

　　8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)为半径的圆周上。

　　三角形“五心歌”

　　三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，

　　五心性质很重要，认真掌握莫记混。

　　重 心

　　三条中线定相交，交点位置真奇巧；

　　交点命名为“重心”，重心性质要明了；

　　重心分割中线段，数段之比听分晓；

　　长短之比二比一，灵活运用掌握好。

　　垂 心

　　三角形上作三高，三高必于垂心交；

　　高线分割三角形，出现直角三对整；

　　直角三角形有十二，构成六对相似形；

　　四点共圆图中有，细心分析可找清。

　　内 心

　　三角对应三顶点，角角都有平分线；

　　三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

　　点至三边均等距，可作三角形内切圆；

　　此圆圆心称“内心”如此定义理当然。

　　外 心

　　三角形有六元素，三个内角有三边；

　　作三边的中垂线，三线相交共一点；

　　此点定义为“外心”，用它可作外接圆；

　　“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键。