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 栏目类别:知识点 >> 初中 >> 数学

平行线分线段成比例

更新时间:2016/9/27 14:02:00  手机版

  平行线分线段成比例定理:

  三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。

  推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

  定理推论:

  ①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

  ②平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

  证明思路:

  该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它,在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点,与直线2交于D、E、F三点

  法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。

  AM=DP,AN=DQ

  AB=AM/cosA,AC=AN/cosA,∴AB/AC=AM/AN

  DE=DP/cosD,DF=DQ/cosD,∴DE/DF=DP/DQ

  又∵AM=DP,AN=DQ,∴AB/AC=DE/DF

  根据比例的性质:

  AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)

  ∴AB/BC=DE/EF

  法2:过A点作AN∥DF交BE于M点,交CF于N点,则AM=DE,MN=EF.

  ∵ BE∥CF

  ∴△ABM∽△ACN.

  ∴AB/AC=AM/AN

  ∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)

  ∴AB/BC=DE/EF

  法3:连结AE、BD、BF、CE

  根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE, S△BCE=S△BEF

  ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE

  根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:

  AB/BC=DE/EF

  由更比性质、等比性质得:

  AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF

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